数学史在初中数学教学中的应用价值

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数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，以及其与社会政治、经济和一般文化的联系的一门科学。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，进而揭示其人文价值，都有重要意义。作为教授数学的教师来说，在教学过程中融入数学史的内容，不仅有助于提高学生的学习效果，而且有很强的教育功能。我认为其具体的教育功能主要体现在以下几个方面：

一、在教学过程中融入数学史可以帮助学生认识数学，形成正确的数学观。

二、数学史知识可增加学生学习数学的兴趣，激励学生学好数学

三、数学史知识可以使学生学会如何应用数学知识，对学生实践能力的形成起着巨大的推动作用。

四、数学史知识可以增强学生学习数学的信心

五、数学史知识可以增强学生的爱国主义精神，激发学生的学习热情

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本节课思维导图

关于笛卡尔的三个重要议题，本节课着重讲第一个议题：

自然界遵循数学定律，且数学定律本身是不变的。

这个论题承接培根的观点，培根认为我们要拷问大自然，但如果大自然没有一定的规律，那我们拷问自然也就没有意义。

17世纪出现了自然定律的现代概念。第一位明确并严格地表述如我们理解的自然定律概念的是勒内*笛卡尔（1596～1650年）

“人们既然重新相信存在自然定律，于是便试图将那些定律和上帝的概念相调和。按照笛卡尔的观点，上帝可以随心所欲地改变道德原则或者数字定理的对错，但不能改变自然本身。他相信，上帝颁布自然定律，但不能选择这些定律，因为我们所经验的定律是仅有的可能定律，他才挑出这些。这似乎有损上帝的权威，但笛卡儿又论证说，因为定律是上帝自性的反映，所以是不能改变的，由此来躲避触犯上帝。”（摘自霍金著《大设计》P21）

这个概念其实跟唯名论是不一样的（上帝今天可以用这个方法创造一个泡泡，明天可以用另一个方法创造一个泡泡），但这就就无法把握规律了，必须假设上帝就是这个规律的一部分，宇宙之中没有奇迹，一切只归自然规律来控制。

如果自然由定律制约，就产生3个问题？

Q1. 定律的起源是什么？

Q2. 定律存在任何例外即奇迹吗？

Q3. 是否可能只存在一族定律？

A1: 对于第一个问题，传统答案——开普勒，伽利略，笛卡儿和牛顿的答案： 定律是上帝的杰作。 利用上帝来回应这一问题，只不过是用一个神秘来取代另一个神秘而已。

A2:柏拉图，亚里士多德，笛卡儿认为， 对于定律不存在例外。

A3:由于对第一个问题的回答是上帝创造定律，那么这个问题就变成上帝在选择它们上有无余地？不管是亚里士多德，柏拉图，还是笛卡儿都相信的，自然的原理因出于“必然性”而存在，也就是说， 因为它们是仅有的逻辑合理的规则。

笛卡尔在这里起到承前启后的作用，把两希文明的一些重要观点融合起来，最关键是在旧体系被打破之际，保留了很多古希腊重要的核心思想。

笛卡儿认为应该 用数学去描述这个宇宙的规律 ，这其实也是继承古希腊思想的表现，古希腊是推崇数学的，本质是对理性的推崇：因为数学只要闷头计算，就能得出答案，不需要实验，单单通过大脑的思考，就能把这个数学逻辑描绘出来。

所以笛卡儿认为，上帝就是按照这个数学模型来创造宇宙的。这个数学模型是稳定的，自然法则是稳定的。所以宇宙的规律一旦被数学描述出来之后，是不会被更改的。

笛卡尔是说对了，但这一切无非是运气罢了，在很大程度上是蒙对的。笛卡尔统一了代数和几何，创造了现代数学，是伟大的数学家。但是他在数学上的任何造诣并不等于数学就能说明全部的自然现象。但在现实中，数学可以很神奇、甚至不合理地符合大自然的一些规律，让人觉得很不可思议。但数学并非全部适用，要不我们就完全不用做实验了，靠数学推导就行，还是要靠物理、化学实验。而且很多现代学术，例如心理学等，数学的功能并不是那么完善。我们也发现了数学的缺陷，但是数学能帮助到我们的地方确实超乎了想象。

起初定律只在天文学中明显存在。然而天文学之外的其他领域中，新定律被渐次发现，而这导致了科学决定论的思想：必定存在一整套定律完备集合，只要给定宇宙在某一特殊时刻的状态，它们就指明宇宙从那个时刻往后将如何发展。这些定律应在任何地方，任何时刻都成立；否则的话就不是定律。不可能有例外或者奇迹。

自然定律告诉我们宇宙如何行为，但未告诉我们，为何我们存在？

当所有的模型都无一例外的指向，我们是如此幸运的作为能够让生命成为可能性的宇宙中的物种的时候，总会有这样的声音认为存在某一种力量，它设计了我们存在的作品。

于是，出现了最终的理论思考， 是否存在一种M理论:认为我们宇宙的维度不止4个(是3维空间+1维时间)，宇宙的实际维度有11维，但是有7个都没有发展起来。M理论相信，漫漫无尽中有很多个宇宙，每个宇宙都有各种各样的概率、形成符合自身条件的定律。维度从0-10维都可以。 比如某个宇宙的原子跟乒乓球一样大，另一个宇宙就是一个平面。这样各种各样的宇宙出现的概率是多少呢?科学家还真的计算了，概率是10的500次方，这是一个大到难以想象的数字。而我们恰好处在一个各种定律都出现生命的宇宙里。

我们的存在属于巧合，不是神迹，而且是合乎情理的巧合。有点像生命的诞生，我们每个人出生的概率其实都是很低的。父亲一生有上万亿精子，母亲一生也会有几百个卵子，我们每个人出现的几率是几百万亿、甚至是上千万亿之一，这是在统计学上是可以忽略不计的概率。但对于父母而言，总归是能生出一个孩子。所以哪怕事先看来再不可能，我们还是出生了。

地球也是一样:只有地球在太阳系的八大行星里符合出现生命的最完善的要求。如果地球离太阳再近5%、或再远15%，就会导致地球过热或过冷、无法有大量液态水存在。地球自身有岩浆、有磁场，这样才有一个环境保证有大气层、适合DNA的存活，还有月亮这个卫星使地球的运转稳定。

总而言之，地球符合众多严苛条件，才能出现文明的生物。我们出生在地球上的概率在整个宇宙里看来也是可以忽略不计的，太阳系有两个光年那么大，地球只有一个点，但偏偏我们就生在这个点上。因为只有在这个点上，我们才能被生出来。

依赖模型的实在论的思想告诉我们：我们的头脑以构造某种世界模型来解释来自感官的输入。我们形成了房子，树，其他人，电流，原子，分子以及其他宇宙的心理概念。这些心理概念是我们多能知道的仅有的实在。不存在不不依赖模型的实在性检验。（可以理解成，你跟一个从未见过吃过冰激凌的外星人讲冰激凌多么好吃，在外星人看来冰激凌是不存在的。）而《大设计》给出的重要结论是： 不存在与图像或理论无关的实在概念。 （所以说这个宇宙也是人类根据自身的“心智模型”“构造”出来的）

人，之所以会感觉害怕、无力、恐惧，那是因为有太多不可知不可控的因素被掩盖在环境中。换言之， 对宇宙的认知有多少，对于自己的认知大概也就只有这么点儿而已。 所以，宇宙和我们是无法分割的， 我们既是宇宙的一部分，我们其实也是自己的宇宙。 那些未知的不是不存在的，只是被掩盖了，我们还未探究到。这很像《童蒙止观》中无数次的出现“空”，这里的“空”并不是没有，并不是“零”，“空”是那些在宇宙中未显现的能量。

?想象自己是一个游戏的玩家，你能做的只有进阶通关，在未取得通关钥匙之前，后面的一切都被锁住了，而其实游戏的设计者早已设计完成，只是你未到达而已。

? 比如记忆，是心智存储的图像。为什么我觉得你漂亮，她觉得你丑？因为“心智模型”不同嘛。彼之毒药,我之蜜糖;?彼之敝草,我之珍宝，就是这个意思。所以，对于你的“实在”现象一定不是我的， 对于这个宇宙的“实在”现象也一定不是另一个宇宙的 。好了，正因为如此，人类所触及的唯一实在的是我们所处的“当下”，这前后大概只有3秒而已。你拥有过去嘛？当然不，你拥有未来嘛？当然也不。我们实际上从未拥有过什么过去和未来，立足在“当下”的我们，面对的仅仅是延伸到过去和未来的概率而已。

学好高中数学并不难

数学是研究空间形式和数量关系的科学，高中阶段的数学，是学习物理、化学、计算机和升入高等院校继续学习的必要基础。从短期目标来说，在高考的考试中，所占分值较高。从应用的角度来说，它是学习和研究现代科学技术的基础，也是社会生产和日常生活的基础。从发展的角度看，学好数学对于培养创新意识和应用意识，认识数学的科学和文化价值，形成理性思维都有着积极的作用。

然而，在数学学习中，发现许多同学有怵头、恐惧、厌烦学数学的心理。由于怵头、恐惧、厌烦这种心理的存在，又形成不爱学、不想学甚至对数学逆反的恶性循环。如果这样持续下去，直接影响今后的学习。升入高中阶段，可以把数学的学习当作一个新的起点，只要想学好数学其实并不难，不妨尝试着从以下方面努力。

走出误区

有些同学认为自己的数学基础没有打好，怕影响高中阶段的学习；有些同学认为数学抽象性较强，学起来枯燥乏味没有意思；有些同学认为数学很难，自己没有学习数学的头脑；有些同学认为学习数学只是为了考试，今后如果不搞数学专业，那么数学几乎是没用；还有些同学持应付的态度学习，认为只要进了大学校门，数学对付着能够及格就行等等，这些认识上的误区都会直接影响同学们学习数学。

心理学理论告诉我们，认识产生行动，行动决定结果。认识上的偏差就会产生行动上的错位，行动上的错位必然不会产生理想的学习效果。在这里，重点帮助同学们澄清关于数学基础不好会影响高中学习的问题。

我们承认初中数学学好了，固然可以为高中数学的学习奠定良好的基础，使高中的数学学习顺利一些。但是如果中考数学成绩不理想，千万不要泄气，更不能有应付和放弃的想法。数学学科系统性很强，知识之间是有联系的，这一点同学们比较看中，因此认为基础没打好怕影响高中的学习。其实，数学知识还有相对的独立性，这一点同学们领悟可能不深。比如集合、函数问题，我们在初中已经学过，高一还要学习，当然是在初中学习基础上的延伸，如果初中没学好，借此之机可以补上初中知识的漏洞。到了高中阶段，随着身心的发展和认知水平的提高，再反过来看初中的知识会感觉非常的简单，有时会有顿悟的感觉，即使没有学好这一专题，在学习新知识的同时使旧知识得到复习和巩固。再如，高中学习的集合、函数、三角、数列等章节，这些知识之间是相对独立的，不要因为一章知识没有学好就对其他章节失去信心，而应该在学习新的一章知识的同时弥补其他知识的缺陷。明确了这些，建议同学们把高中数学的学习当作新的学科来学，对初中未接触过的新知识要打好基础，不明白的问题不过夜，及时弄懂弄通；对在初中已经学过的知识的延伸学习中，要多思考自己在初、高中知识的衔接中有哪些断层？多问几个是什么？为什么？争取使高一数学的学习起到承上启下的作用，为高中的学习打下坚实的基础。

从心理上对数学的抵触是学习数学的天敌，因此要走出误区，提高学习数学的认识，正确认识数学学习的重要性，以积极的心态去面对数学的学习。

培养兴趣

爱因斯坦说过“兴趣是最好的老师。”的确，我们对于自己感兴趣的学科，学起来轻松自如，心情舒畅，成绩也满意。同样对于感兴趣的事情，会有无限的热情和巨大的干劲，会想尽一切办法、克服一切困难去做它。日本教育家木村久一有句名言：“天才就是强烈的兴趣和顽强的入迷”， 可见培养兴趣是何等的重要。

我们可以回想一下自己对哪些学科感兴趣？对哪些学科不感兴趣？分析形成的原因是什么？是否会有这样的感受，对感兴趣的学科，从心里就愿意学，哪怕是下同样的功夫，成绩也是较好的，从而就对这一学科就更爱学。正印证了孔子所说的：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”

兴趣的指向不是与生俱来的，是在需要的基础上产生和发展起来的，兴趣还需要我们去培养。大家熟悉的国内外著名的科学家，他们能够取得卓越的成就，并不是他们能力超常，智慧超群，而是他们对某项研究感兴趣，在研究中体会到无穷的乐趣，进而成为研究的志趣。由兴趣——乐趣——志趣的衍变，不难看出是由喜好开始，体验到快乐，形成志向和兴趣的统一，然而是兴趣把他们引上了科学成功之路。

对数学学科产生兴趣同样靠我们有意识地培养。在学习数学时要克服只为高考而学数学的功利思想，从数学的功效和作用、数学对人的发展和生活需要的高度认识学习的重要性和必要性，从自己感兴趣的章节入手。比如喜欢几何，可以多做这方面的题目，在解题的过程中体会数学的思维方法，体会数学中蕴涵的美，体会数学学习的快乐，来带动其他章节的学习，从而培养对学数学的兴趣。

掌握方法

R?柯朗在《数学是什么？》这本名著的序言中有这样一段话：“学生和教师若不试图从数学的形式和单纯的演算中跳出来，以掌握数学的本质，那么挫折和迷惑将变得更为严重。”可见，学习数学不能盲目地在题海中遨游，更不能就题论题，尤其是高中阶段的数学学习，应当注重掌握数学思想方法。

什么是数学思想方法呢？特级教师、实验中学的王连笑校长在《教学生学会数学》一书中指出：数学思想方法按层次来分，可分为数学一般方法、逻辑学中的方法和数学思想方法，其中数学一般方法包括一些数学解题的具体方法和技能、技巧，如配方法、换元法、待定系数法、判别式法等等；逻辑学中的数学方法是数学思维方法，包括分析法、综合法、归纳法、整体方法、试验方法等等；数学思想方法则包括函数与方程的思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想等等。在教学中老师把培养学生的数学思想方法作为教学的目标，那么同学们在学习中也要特别重视思想方法的学习和理解。明确技巧是解决问题所需要的特殊手段，方法是解决一类问题而采用的共同手段，而解决问题的最深层的精灵就是思想。方法是技巧的积累，思想是方法的升华。

解题技巧的锻炼靠我们在解题过程中的用心琢磨、深入思考和总结概括，不断地探索解题的规律。著名的数学教育家乔治?波利亚通过对解题过程中最富有特征性的典型智力活动的分析归纳，提炼出分析和解决数学问题的一般规律和方法，即弄清问题、拟定解题计划、实现解题计划、回顾等四个阶段。在教学中老师强调的把好审题关、计算关和数学表达关等，要求我们对概念、公式、定理等一些知识要记忆准确，掌握牢固，并会运用这些知识来进行计算、证明及逻辑推理等，这些都是对数学技巧和解题规律的概括与总结，有待于我们在学习中用心体会。只要把握学习数学的规律，掌握学习数学的方法，锻炼数学的思维，遇到任何题目都会迎刃而解。

克服困难

数学是一门系统性、逻辑性、抽象性较强学科，数学题目浩若烟海，尤其是高中数学题都有一定的难度，这就要求同学们有克服困难和战胜困难的心理准备,要培养克服困难的勇气和信心。

在学习数学的过程中，要有意识地培养自己坚强的意志品质。“坚韧”是解除一切困难的钥匙，它可以使人们成就一切事。世界上没有别的东西可以比得上或替代坚韧的意志。爱因斯坦说过：“苦和甜来自外界，坚强则来自内心，来自一个人的自我努力。”已故的克勒吉夫人曾经说过，美国人的成功之秘诀，就在他是不怕失败的。他心中想要做一件事时，赴以全力，而简直想不到有任何失败之可能。即使他失败了，他会立刻站起来，而抱了更大的决心，向前奋斗，至成功而后矣。困难不是我们的仇敌，而是我们的恩人，困难到来，可以锻炼我们克服困难的种种能力。其实，大自然往往给人一份困难时，同时也给人添加一分智力。唯有失败和困难才能使一个人变得坚强，变为无敌。正像一位著名的科学家曾说，当他遭遇到一个似乎不可超越的难题时，他知道，自己快要有新的发现了。

有一条我们应该相信，高中的数学题它是能够求解的，它不会像哥德巴赫猜想那样难住我们。一道题多种解法，会让我们综合运用所学的知识，尝试各种解题思路，设计最佳的解题方案，使我们的创造力得到尽情的发挥，体会科学家的探索过程，感受到成功带来的喜悦。《学会生存》中指出：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”终身学习，提高学习的能力已成为当今世界流行的口号。一位有名的数学家在谈自己学数学的心得时讲过一句话：“有许多具体的数学知识学过之后是可以忘掉的，但是那些知识所表现的数学思想是永远不应该忘掉，而且会使你受用一生。”那么我们应该重新认识为什么学习数学？怎样学习数学？要吸收数学知识中蕴含的数学思想，体会这些数学思想给我们的启迪。通过学习数学，培养我们科学的态度和科学的习惯，锻炼我们目的的明确性、思维的条理性、行为的准确性。

孔子的弟子倦于学，告仲尼曰：“愿有所息”。仲尼曰：“生无所息”。借此劝勉高中的学子们，数学对于人类社会的发展是功不可没的，对于人的素质和自我修养的形成是不可替代的，作为高中生对数学的学习永无止境

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