入基变量可以是负数吗-

网上有关“入基变量可以是负数吗?”话题很是火热，小编也是针对入基变量可以是负数吗?寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

一般模型既有不等式约束，也有等式约束；既有非负的约束决策变量，也有整个实数域上的自由决策变量。

标准模型

引入冗余的决策变量，使得不等式约束转化为等式约束。这里的每个决策变量都具有非负性。

在这里插入描述

把上述模型用矩阵表示就是

m i n ( o r m a x ) C T X s . t A X = b ? X ≥ 0 min(or\ max) C^TX\\ s.t \ AX=\vec{b}\\ \ X \geq 0

min(or max)C

T

X

s.t AX=

b

X≥0

线性规划问题的基本假设

系数矩阵A的行向量线性无关。

如果线性相关有2种可能，要么是增广矩阵的该行也线性相关，则该行约束冗余，可以删去。要么增广矩阵的该行线性无关，则方程无解，优化问题不存在。

系数矩阵A的行数小于列数

如果行数m大于列数n，则行向量是m个n维向量，不可能线性无关。吐过行数等于列数，且行向量线性无关，则约束条件确定了唯一解，无需优化。

一般模型与标准模型的转化

主要方式是增加决策变量。有两种情况需要增加

不等式变等式，每个不等式增加一个决策变量。

1个自由决策变量转化为2个约束的决策变量。

在这里插入描述

线性规划问题解的可能情况

唯一最优解

没有有限的最优目标函数

没有可行解

无穷多的最优解（一维问题中不会出现）

凸集

Def. 凸集：该集合中任意两个元素的凸组合仍然属于该集合。

在这里插入描述

注：此处的α \alphaα不能是0或1。

Thm. 线性规划的多面体模型是凸集。

Def. 凸集的顶点：顶点无法表示成集合中其他元素的凸组合。

在这里插入描述

顶点的等价描述

从系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量，组成可逆方阵。则由此可求得m个决策变量的值，再令其余的决策变量为0即可。

推论

顶点中正分量对应的系数向量线性无关。

一个线性规划问题标准模型最多有C n m C_{n}^{m}C

n

m

个顶点。

定义总结

基矩阵§：系数矩阵中抽取m列线性无关的列向量组成可逆方阵。

基本解：m个基变量有基矩阵和b ? \vec{b}

b

决定，剩余(n-m)个变量都置0，称之为非基变量。

基本可行解（顶点）：基本解中可行的，即满足非负性约束

Thm. 线性规划标准模型的基本可行解就是可行集的顶点。

Thm. 标准模型的线性规划问题如有可行解，则定有基本可行解。

Thm. 线性规划标准模型中顶点的个数是有限的。

Thm. 线性规划标准模型的最优目标函数值如果有有限的目标函数值，则总在顶点处取到。

单纯形法

在顶点中沿着边搜索最优解的过程。

按照上述的原理，我们固然可以求出所有的基矩阵，进入求出所有的顶点。计算每一个顶点的目标函数值，找出其中最大的那个，但是这样做的计算量未免太大，因此有了单纯行法，即沿着边搜索顶点。

在这里插入描述

单纯形法就是一个不断的选择变量入基出基的过程。

假定已知一个基本可行解。（问题4）

如何计算选定进基变量后的基本可行解。(问题1）

如何选择进基变量使得目标函数值改善。（问题2）

如何判断已经找到最优的目标函数值。（问题3）

计算选定进基变量的基本可行解

Def. 基本可行解的表示式：基变量只出现在一个等式约束中。如：

在这里插入描述

此处的x 3 , x 4 , x 5 x_3,x_4,x_5x

3

,x

4

,x

5

就是基变量。

选定出基变量：保可行性的最小非负比值原理

由上所述，一个顶点对应一个基本可行解，其中m个基变量，(n-m)个非基变量。假定我们要选择某个非基变量x i x_ix

i

入基，实际上就是通过对增广矩阵做初等行变化使得x i x_ix

i

仅仅出现在一个等式约束中。比如我们通过变换，使得x i x_ix

i

仅仅出现在第j个等式约束中，如果此时仍然满足可行性，那么x i x_ix

i

就取代了原来在此处的基变量，成为新的基变量。

在进行初等行变换的过程中，要保证可行性，即

b ? ≥ 0 \vec{b} \geq 0

b

≥0

。因此要选择最小非负比值。请看下面的例子：

在这里插入描述

假设我们要选择x 2 x_2x

2

入基，那么就是要通过初等行变换，使得x 2 x_2x

2

的系数向量中某一行是1，其余行都是0。如我们选择x 2 x_2x

2

仅出现在第3个等式约束中，即

在这里插入描述

则此时无法保证可行性，因为b ? \vec{b}

b

中第1个分量是负数。

为了避免等式右侧出现负数，只能选择比值最小的一行，即第1行。即化成如下的形式：

在这里插入描述

如果此时我们想让x 3 x_3x

3

入基，此时的最小比值是第2行，即让该行为1，其余行为0。但是，为了让x 3 x_3x

3

的第二行为1，该行两端必须同时乘以一个负数，此时仍然无法保证b ? ≥ 0 \vec{b} \geq0

b

≥0，因此只能选择系数非负的一行。

注：这里的非负性是指系数非负，而不是比值非负。即当b中某行分量是0，而该行入基变量系数是负数，仍不能入基。

在这里插入描述

特殊情况：没有非负比值，即没有有限的目标函数值。

在这里插入描述

选择入基变量的原则

选择某个入基变量使得目标函数能改善，通过检验数选择。

此处假设优化目标是求最大值。通过等式约束，将目标函数表示成非基变量的线性组合。即

f ( X ) = c 1 x j ( m + 1 ) + c 2 x j ( m + 2 ) + . . . + c n x j ( n ) + c o n s t f(X)=c_1x_{j(m+1)}+c_2x_{j(m+2)}+...+c_nx_{j(n)}+const

f(X)=c

1

x

j(m+1)

+c

2

x

j(m+2)

+...+c

n

x

j(n)

+const

只有选择检验数是正数的变量入基才有可能使得目标函数继续增大，因为入基之后变量只可能增大或者不变，而不可能减少。

如何确定已经找到了最优的目标函数值

此处假设优化目标是求最大值。

当每个非基变量的检验数都是负数时，目标函数已经达到了最大值。

退化情况

Thm. 收敛条件：每次迭代过程中，每个基本可行解的基变量都严格大于0，则每次迭代都能保证目标函数严格增加。而基本可行解的数目是有限的，因此上述过程不会一直进行下去，因此一定能在有限次迭代过程中找到最优解。

Def. 退化情况：某些基变量是0。则多个基矩阵对应同一个退化的顶点。

Thm. 循环迭代导致不收敛：多个基矩阵对应一个顶点，即每次出基入基都换了基矩阵，但是对应的退化顶点不变，即目标函数也不变。因此可能出现在几个基矩阵之间循环不止的情况。

避免退化：由于顶点的个数是有限的，我们只需标记那些已经迭代过的顶点，即可避免循环。

**bland法则：**始终选择下标最小的可入基和出基的变量。

当所有的基变量都严格大于0时，则这个基矩阵对应于非退化的顶点，此时可行基矩阵和顶点是一一对应的；

当某些基变量为0时，则这个基矩阵对应退化的顶点，一个退化的顶点对应数个可行基矩阵。

即给定一个可行基矩阵，一定能确定一个顶点，但是给定一个顶点时，其对应的基矩阵可能不唯一。

更一般地说，当顶点非退化时，可行基矩阵唯一；否则可行基矩阵不唯一。

如何确定初始的基本可行解

先将一般模型转化为标准模型，然后添加人工变量，在迭代过程中将人工变量都变成非基变量，则基变量就只剩下原来的变量。

在这里插入描述

大M法在这里插入描述

两阶段法

在这里插入描述

例题

本质就是不断的迭代单纯型表

在这里插入描述

在这里插入描述

一般线性规划问题总结

一般模型转化为标准型

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

在这里插入描述

基于单纯型表迭代的实质

求出非基变量的检验数

σ j ( k ) = c j ( k ) ? C B T B ? 1 P j ( k ) m + 1 ≤ k ≤ n \sigma_{j(k)}=c_{j(k)}-C_{B}^{T}B^{-1}P_{j(k)}\ m+1 \leq k \leq n

σ

j(k)

=c

j(k)

?C

B

T

B

1

P

j(k)

m+1≤k≤n

确定进基变量

σ j ( t ) = m a x { σ j ( m + 1 ) , σ j ( m + 2 ) , . . . σ j ( n ) } \sigma_{j(t)} = max\{\sigma_{j(m+1)},\sigma_{j(m+2)},...\sigma_{j(n)}\}

σ

j(t)

=max{σ

j(m+1)

,σ

j(m+2)

,...σ

j(n)

}

确定出基变量

在这里插入描述

得到新的可行基矩阵

在这里插入描述

基于逆矩阵的单纯形法

在这里插入描述

核心问题：如何基于B ? 1 B^{-1}B

1

计算出B ? 1 ~ \tilde{B^{-1}}

B

1

~

。这两个矩阵仅仅有1列不一样，这是一个线性代数问题，与本课程的主要内容无关，此处不再赘述。

总结：单纯形法中可能遇到的3中特殊情况。

1. 退化问题：某些基变量为0

退化问题的现象是某些基变量为0，本质是一个退化的顶点对应多个可行基矩阵，后果是可能使得单纯形法不收敛。

在选择入基变量时，应该遵循blend法则，即每次选择可入基变量下标最小的那个。

2. 没有最小非负比值。

当选定入基变量后，需要根据“保证可行性的最小非负比值原理”选定出基变量，如果没有非负比值，则说明该变量可以趋于无穷，则该问题没有有限的最优目标函数值。

3. 某个非基变量的检验数为0.

在选择入基变量时，需要将目标函数表示成非基变量的表达式。以目标值是求最大问题的为例，此时应该选择检验数大于0的非基变量入基才能改善目标函数值。

当所有非基变量的检验数都为小于等于0的时候，无论选择谁入基，都会值得目标函数变得更差，因此这时候就达到了最优条件。

有一种特殊情况是某个非基变量的检验数为0，如果选取该变量入基，则目标函数值和原来一样，但是我们得到另一组不同的基本可行解，即最优目标函数值对应了多个基本可行解，这说明原问题有无穷多最优解。

4. 退化问题和非基变量检验数为0.

前者是一个顶点对应多个可行基矩阵，后者是最优目标函数值对应多个顶点。

前者可能导致单纯形法不收敛，后者说明该问题有无穷多解。

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一个标准的优化问题，通常都由：优化变量、目标函数、不等式约束、等式约束组成： 满足等式约束和不等式约束的值叫做优化问题的 可行域（feasible set） 。可行域也要包含在所有函数的定义域内。

我们将可行域内 的 下确界 定义为问题的 optimal value 。 如果可行域是空集，我们取 。

如果 optimal value 在问题的可行域内可以取到，即 ，就称 是问题的 最优解（optimal point） ，注意不是所有问题都能取到最优解。所有的 optimal point 构成 最优集（optimal set） 。

如果该优化问题的最优集不为空，那么就算这个问题是 可解的（solvable） ，容易看到，并不是所有的可行域非空的优化问题都是可解的。

对于不等式约束条件，如果 ，我们就说约束条件 在 处是 inactive 的。不等式约束条件到底有没有起作用，在优化理论中被广泛研究。

优化问题的标准形式如本文式(1)。事实上，很多实际问题被提出的时候并不是标准形式，但是我们总能够将它们化为标准形式。

比如最大值问题添加一个负号就能变成最小值问题。因为凸函数具有全局的最小值点，所以习惯上我们还是考虑最小值问题。

通过一定的变换，我们可以把一个优化问题变成与它等价的另一个优化问题。有时候，这样的操作可以帮助我们简化问题的求解。

通俗地说，凸优化问题，就是目标函数是凸函数，并且可行域是凸集的优化问题。 凸优化问题的标准形式，与一般优化问题的相比， 要求目标函数 和不等式约束函数 都是凸函数，并且等式约束都是线性的。

这样的约束条件，保证了 问题的可行域是凸集 。

如果目标函数不是凸的，是拟凸的，那么这个问题就是一个拟凸优化问题（ quasiconvex optimization problem ）

当目标函数和不等式约束都变成凹函数并且是求最大值，这个问题叫做凹优化问题。凹优化问题和凸优化问题本质是一样的。

凸优化，相比与一般的优化问题，有一个非常好的性质，那就是， 任何一个局部最优点（locally optimal）都是全局最优点（global optimal） 。

如果目标函数是可微的，那么还有一个判断最优点的准则：

设 是可行域， 最优 。

这个命题有着非常好的几何解释： 与 成钝角

同时 定义了一个过点 的对可行域的支撑超平面。

如果问题仅包含等式约束 ，那么 最优 。这个可以用之后介绍的KKT条件进行证明。

如果问题只是变量的非负约束，那么 最优

如果凸优化问题没有约束条件（Unconstrained problems），那么上面的命题，归结为一个广为人知的充分条件：

很多实际问题都可以归结于或者转化为几类经典的凸优化问题。包括 线性规划（LP）、二次规划（QP）、二次约束二次规划（QCQP）、二阶锥规划（SOCP）、几何规划（GP） ，接下来依次介绍它们。

线性规划应该是最简单、人们最熟悉的一种凸优化问题了。线性规划问题具有如下的典型形式： 通过一些变换，如添加松弛变量，引入正部、负部等方法，可以化为 标准形式 。 对于标准形式的线性规划问题，本科的运筹学课程应当会介绍 单纯形法 。这是根据线性规划可行域的特点提出的一种求解方法，因为线性规划的最优值如果存在那么必然取在可行域的极点上。

有几类问题可以转化为LP问题。

给定一个多面体 我们想知道这个多面体能包含的最大球的半径和球心。这个球心我们叫做该多面体的 chebyshev 中心。

我们假设这个球是 ，如果这个球在半平面 内，那么一定有： 最后我们得到相应的LP问题： 是LP问题的变量。

如果线性规划的目标函数不是线性函数，而是一个线性分式函数，这个问题就成了线性分式规划。它也可以转化成线性规划。

先做一个换元： 将上式代入约束条件，就顺利转化成线性规划了。

当LP中的目标函数是一个二次函数的时候，这个问题就成了 二次规划（quadratic program） 。注意这个时候，约束条件仍然要求是线性的。

如果不等式约束条件中的函数再变成二次函数，那么这就是 二次约束二次规划（quadratically constrained quadratic program ） 。

它们分别具有标准形式：

和： 需要注意，这样的二次规划问题，都需要矩阵 至少是半正定的。

有一些问题可以利用QP进行求解：

一定是半正定的。这是一个无约束的QP问题。

两个多面体 和 ，想要找到它们之间的最小距离。 这也是一个QP问题。

这也是一个经典的QP问题，在此从略。

二阶锥规划（second-order cone program） 具有典型形式： 乍一看，不等式约束两边同时平方一下，就能变成QCQP了。确实如此，SOCP可以看做是QCQP的推广。

椭球不确定集上的鲁棒线性优化，和高斯分布的线性机会约束，最后都转化成了一个SOCP。

几何规划（geometric program） 是一类 可以转化成凸优化问题 的非凸问题。在引入GP之前，我们还需要厘清一些概念。我们称 是一个单项式（monomial），几个单项式的和，叫做正项式（posynomial）。

一个标准的GP问题具有如下形式：

其中 都定义在 上。很显然，单项式并不一定是凸的，这并不是一个凸优化问题。作换元 ，对于新元 ，原问题具有如下形式：

如果GP的目标函数和不等式约束都是单项式的话，我们还可以通过换元将它变成LP。所以LP也可以看做是GP的一种特殊情况。

在前一章凸函数的末尾，我们通过广义不等式成功将凸函数推广到向量值函数。我们称： 为广义不等式约束下的凸优化问题的标准形式。正如一般凸优化问题的要求，这里还要求 在 上是 的。

数学的美，在于它能用精妙的理论，将许多看似没有关联的问题抽象地统一在一起。正如我们即将看到的，proper cone 的概念仿佛神来之笔，将整个优化理论的问题统一起来了。

锥形式的优化问题是一种很 general 的情况。在数学里面，我们认为一般性的结论是要好于特殊性的结论的。锥规划就是把很多经典的优化问题的形式抽象出来的一种表示方法。

锥规划一般都具有如下的典型形式： 线性规划显然是锥规划的一种特殊情况。

SOCP可以用锥规划的形式表示： 其中 是一个二阶锥： 。

半定规划（SDP）是一类非常非常重要的凸优化问题！在 Conic form problems 的基础上，令 为半正定矩阵锥，因为 ，可以将 看做 的线性函数。继而，我们有 这称为SDP的 标准形式 。SDP也有如下的形式： 关于矩阵的线性不等式我们叫做 linear matrix inequality ，在很多文献上简写为 LMI 。

广义不等式不仅可以作用在约束条件上，还能作用在目标函数上。令 是一个多元向量值函数，在 的一个凸集上 ，我们希望找到在一个广义不等式下的 的最小值/极小值。

这样的问题叫做向量优化问题。这样子的目的就在于，如果目标是多维的，可以通过定义一个 proper cone ，来表达 ， 至少不比 差。

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